題目： UVa - 10721 - Bar Codes

題目說明

組成 bar 的單位為長方條 ( units )，units 的顏色可以是黑色也可以是白色，同一種顏色排在一起視為一個 bar。

BC(n, k, m) 表總共使用 n 個 units，組成 k 個 bar，每個 bar 的寬度不可超過 m 個 units，且第一個 bar 為黑色，能組出的所有情況數

給 n、k、m，求 BC(n, k, m)。

Input： 每組測資有三個整數，依序為 n、k、m。

Output： 輸出 BC(n, k, m)。

解題思路

動態規劃題，由於測資範圍不大，因此先算出所有情況的答案再輸出即可。

定義 dp[n][k][m] 表 BC(n, k, m)，先設定初始狀態，由於第一個 bar 必為黑色，因此可以知道，dp[n][1][m] = 1，對於所有 m >= n，也就是只能是黑色的 bar，而 m >= n 是因為當 m < n 時無法使用完 n 個 units，因此為 0。

對於 dp[n][k][m]：

  • 若 m > n，dp[n][k][m] = dp[n][k][n] 。因為最多只可使用 n 個 units。
  • 若 m <= n，dp[n][k][m] = dp[n - 1][k - 1][m] + dp[n - 2][k - 1][m] + … + dp[n - m][k - 1][m] 。
    可以想像為，在原本的組合下接上新的 bar，如 dp[n - 1][k - 1][m] 為接上一個 unit 的 bar 後的情況數，dp[n - 2][k - 1][m] 為接上兩個 units 的 bar 後的情況數，…，最多只可接上 m 個 units 的 bar。而新接上的 bar 的顏色必定與原本最後一個 bar 的顏色相反，由於只有黑白兩色，因此計算時不需考慮顏色。

參考解法

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#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

/*
reference:
    https://ppt.cc/fr07lx
    https://ppt.cc/fzn4hx
*/

static auto __ = []
{
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    return 0;
}();

int n, k, m;
long long dp[51][51][51];

void compute()
{
    // 當只有一個 bar 時，對於 m >= n，dp[n][1][m] = 1 ( 只有一個黑色的 bar )
    for (int n = 1; n <= 50; ++n) for (int m = n; m <= 50; ++m) dp[n][1][m] = 1;
    for (int n = 1; n <= 50; n++) for (int k = 1; k <= 50; k++) for (int m = 1; m <= 50; m++)
    {
        // 由於最多 n 個 units，因此當 m > n 時，dp[n][k][m] = dp[n][k][n]，也就是無法再接 bar 上去
        if (m > n) { dp[n][k][m] = dp[n][k][n]; continue; }
        // 新接上的 bar 寬度為 1 ~ m
        for (int i = 1; i <= m; i++) dp[n][k][m] += dp[n - i][k - 1][m];
    }
}

int main()
{
    compute();
    while (cin >> n >> k >> m) cout << dp[n][k][m] << '\n';
}

參考資料

[UVA] 10721 - Bar Codes | 水泥城式
UVa/UVa 10721 - Bar Codes.cpp at master · ajahuang/UVa